三、对称性与晶体的对称分类简介

对称（symmetry）就是：物体相同部分有规律地重复。对称的现象在自然界以及我们的日常生活中都很常见，如花朵、蝴蝶、房子等。

图1－9 对称的物体

1、晶体的对称特点

晶体也具有对称性，而且对称性是晶体非常重要的性质，它决定了晶体的形态及物理性质特征。晶体的对称性来自于其内部结构的周期重复性，所以晶体的对称性有其特有的一些特征。

晶体的对称特征有：

1） 因为晶体结构是具有周期重复规律性的，这种周期重复就是一种对称性，即平移对称性，所以，从这个意义上说，所有晶体都是对称的（都具有这种平移对称性）；

图10 高温石英晶体结构中的平移对称（不同方向的平移周期可以不同，也可以相同）

2） 晶体的这种平移对称性又限制了晶体的对称形式，因为有些对称形式与平移对称相矛盾，这样的对称就不能在晶体中出现，这就是晶体对称的有限性，它遵循“晶体对称定律”。（详见下一小节）

3） 晶体的对称性不仅仅体现在宏观形态上，也体现在物理性质上，例如：晶体的电学性质、光学性质等等都有对称性。

2、晶体上的对称要素

欲使对称图形的相同部分重复，必须通过一定的操作，这种操作叫对称操作(symmetry operation)；在进行对称操作时所应用的辅助几何要素叫对称要素（symmetry element）。下面介绍晶体外形上可能出现的对称要素及其对称操作（这里只介绍几种简单的对称要素）。

（1）对称面（symmetry plane）：为一假想的平面，借助于这个面的反映操作，图形的相同部分重复。反映操作相当于一个镜面的照映，所以对称面也称为镜面（mirror）。人的双手是典型的镜面关系的实例（见图1－11）。图1－12 给出了矩形体上的对称面和非对称面的区别：矩形体上的绿色切面是对称面；而矩形体上的红色切面不是对称面，虽然它把图形分成两个相同部分，但这两个相同部分不是以该面为镜面关系的。

图1－11 双手之间的镜面关系

对称面 非对称面

图1－12 对称面与非对称面的区别

对称面的一般符号用P表示, 对称面的国际符号用m表示。

（2）对称轴（symmetry axis）:为一假想的直线，借助于这根直线的旋转操作，图形的相同部分重复。风车是典型的旋转对称的实例（见图1－13）。旋转一周重复的次数称为轴次n，重复时所旋转的最小角度为基转角a，两者之间的关系为：n = 360°/a。例如：图1-14中的风车旋转一周重复了4次，所以轴次为4，第一次重复时所旋转的角度为90°，即：360°/90° = 4。

 

图1-14 风车的旋转对称特点

对称轴的一般符号用Lⁿ表示，如一次轴L¹，二次轴L²…. 。对称轴的国际符号用n表示，如一次轴1，二次轴2….。

请注意，并不是所有轴次的对称轴都可以在晶体上出现的，晶体上只能出现一次、二次、三次、四次、六次对称轴，不可能出现五次及大于六次的对称轴，这就是晶体的对称定律（law of crystal symmetry）。

为什么呢？这是因为五次及大于六次的对称性与晶体的平移对称相矛盾，所以它们不能在晶体上出现。

晶体的对称定律是可以用严格的数学方法证明的，但我们在此不介绍这种抽象的数学方法，而是以形象直观的方法来比喻：如图1-15所示，二次、三次、四次、六次对称的多边形能够毫无间隙地铺满整个平面空间，但五次、七次、八次对称的多边形不能够毫无间隙地铺满整个平面空间，铺满平面空间的过程就是在进行平移对称操作，所以说：五次、七次、八次对称等对称与平移对称相矛盾，所以它们不能在晶体上出现。

图1-15 不同对称的多边形铺满平面空间的图案

（３）对称中心（symmetry center）:为一假想的点，借助于这个点的反伸操作，图形的相同部分重复。所谓反伸操作，就是将图形与对称中心做连线，该连线延长到与对称中心等距离的地方形成相同的图形，图1-16是反伸操作的示意图。

图1-16 对称中心的反伸操作

晶体上的对称中心一定在晶体中心，如果有对称中心，则只可能有一个。对称中心的一般符号用C表示，国际符号用 表示。

反伸操作在晶体形态上不太容易看出，但如果晶体上有对称中心，则晶面必然成对分布，每对晶面都是两两平行且同形等大。这一特点可以用来判断晶体形态上是否有对称中心。图1-17a 是有对称中心的两个晶体形态, 图1-17b 是没有对称中心的晶体形态。

(a) 有对称中心的晶体形态 (b) 没有对称中心的晶体形态

图1-17 有对称中心与没有对称中心的晶体形态

3、对称要素组合

一个晶体上可以同时存在多个对称要素，这些对称要素共存时一定要符合对称要素组合定理，不能任意共存。

一些较简单的对称要素组合定理有：

定理1：如果有一个二次轴L²垂直n次轴Lⁿ，则必有n个L²垂直n次轴Lⁿ。

图1-18 4个L²垂直四次轴L⁴

定理2：如果有一个对称面P包含n次轴Lⁿ，则必有n个P包含n次轴Lⁿ。

图1-19 4个P包含四次轴L⁴

定理3：如果有一个偶次轴垂直对称面P，则必在对称轴与对称面的交点上产生一个对称中心C。

图1-20 L⁴与P垂直产生一个C

有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的对称要素组合形式的正确与否。

思考：请同学们根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素组合形式是否正确：

L⁴3P(答案：错误，应该为：L⁴4P，根据组合定理1，四个P包含L⁴)

L²2P(答案：正确, 根据组合定理2，两个P包含L²)

L³2L²(答案：错误，应该为：L³3L²，根据组合定理1，三个L²垂直L³)

3L² (答案：正确，其中一个L²直立，另外两个L²垂直这个直立的L²)

L³PC(答案：错误，应该为：L³P，因为L³不是偶次轴，所以不能产生C)

L⁶PC (答案：正确，P垂直L⁶，L⁶是偶次轴，所以产生C)

4、晶体的对称分类

晶体种类有成千上万，根据晶体上的对称要素及其组合形式，可以将晶体进行对称分类。首先，根据晶体上对称要素是否有高次轴（n>2的对称轴）及高次轴的数量划分为3个晶族（crystal category）：高级晶族（高次轴多于一个）、中级晶族（高次轴只有一个）和低级晶族（无高次轴）；然后根据具体的对称特点分为7个晶系(crystal system)：等轴晶系、六方晶系、三方晶系、四方晶系、正交晶系（或称斜方晶系）、单斜晶系和三斜晶系。将晶体上对称要素组合形式相同的晶体归为一个晶类(crystal class)，一共有32种对称要素组合形式，所以有32个晶类。一个晶体上所有对称要素组合称为晶体的对称型(symmetry class)，也叫点群(point group)。晶体的对称分类体系见表1-2。

表1-2 晶体的对称分类

注：1）表中的、分别为四次和六次旋转反伸轴，这种对称轴较复杂，在对称要素一小节中我们没有介绍。

2）对称型（点群）的一般符号中，是把所有的对称要素都些出来，根据对称型的一般符号我们很容易知道这个晶体上有些什么对称要素，但对称型（点群）的国际符号则并不将所有的对称要素写出来，它的写法比较难，我们不做介绍。

晶体的对称分类非常重要，不同晶族、不同晶系的晶体，其物理性质的方向性特征完全不同。晶体的对称性是决定晶体物理性质方向性特征的最重要的基础。

请注意：不同晶系的晶体，其晶胞形状完全不同，如：等轴晶系的晶体，晶胞形状是立方体；四方晶系的晶体，晶胞形状是四方柱；六方晶系的晶体，晶胞形状是内角为60°和120°的菱形柱；等等。这就说明：1）晶胞是决定晶体对称性的本质内因；2）晶胞的形状和对称性与晶体宏观形态上的对称型是统一的，即内部结构与外部形态的对称性是统一的。